| Application : approximation au sens des moindres carrés en analyse numérique - [Retour au menu général] |
| Contexte
Pour un intervalle donné et un degré donné, on recherche la meilleure approximation polynômiale d'une fonction continue |
| Définitions usuelles et rappels importants - Notations utilisées
n : entier naturel strictement positif
R : Ensemble des réels
C([a ; b]) : Espace vectoriel sur R des fonctions continues de R vers R. Cet espace est de dimension infinie
P([n]) : Ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. C'est un sous-espace vectoriel de dimension n + 1 de C([a ; b])
I(a, b, f) =  (Intégrale de a à b de f)
S(k, l , ui) =  = uk + ... + ul (k et l étant deux entiers naturels, k inférieur ou égal à l)
w : fonction continue et positive n'ayant qu'un nombre fini de racines. Cette fonction sera notée fonction-poids |
| Théorèmes admis
Produit scalaire : pour tout f et g de C([a ; b]), on admet que l'application suivante notée (f, g) définit un produit scalaire
(f, g) = I(a, b, wfg) = 
Norme associée au produit scalaire : N(f) = (f, f)1/2
Approximation : on admet que pour tout f de C([a ; b]), il existe un unique g de P([n]) vérifiant
N(f - g) = Min N(f - h) h appartenant à P([n])
g sera noté approximtion au sens des moindres carrés de f (AMC)
Projeté orthogonal : on admet qu'une condition nécessaire et suffisante pour que g existe est que
(f - g, h) = 0 pour tout h de P([n]) |
| Détermination de l'approximation au sens des moindres carrés g de f
L'idée est de se placer dans une base B de P([n])
B : (b0, ... , bn)
On exprime : (f - g, bi) = 0 (i = 0, ..., n)
On décompose g dans la base B : g = S(0, n, aj bj) (les aj étant des réels à déterminer)
On obtient le sytème de n + 1 équations à n + 1 inconnues
S(0, n, aj(bj, bi)) = (f, bi) (i = 0, ... , n) |
| Première méthode
On utilise une base ORTHOGONALE. Dans ce cas le système se simplifie
(bj, bi) = 0 pour i différent de j et aj = (f, bj) / (bj, bj)
Dans les ouvrages d'analyse numérique, on retrouvera comme base orthogonale la famille des polynômes de LEGENDRE (a = -1 , b = 1 , w(x) = 1) |
| Deuxième méthode
On utilise la base canonique usuelle de P([n])
Application numérique :
n = 3
a = 0
b = 1
w(x) = 1
f(x) = x4
bi(x) = xi (i = 0 , .. , 3)
On obtient : (bj, bi) = 1/(j + i + 1)
puis : (f, bi) = 1/(i + 5)
On obtient le système suivant :
a0/1 + a1/2 +a2/3 +a3/4 = 1/5
a0/2 + a1/3 +a2/4 +a3/5 = 1/6
a0/3 + a1/4 +a2/5 +a3/6 = 1/7
a0/4 + a1/5 +a2/6 +a3/7 = 1/8
Il est possible d'utiliser le site afin de déterminer les solutions du système
On obtient : a0 = -1/70 ; a1 = 2/7 ; a2 = -9/7 ; a3 = 2
Conclusion :
L'approximation au sens des moindres carrés de f(x) = x4 pour a = 0, b = 1 et w(x) = 1 est :
g(x) = -1/70 + 2/7 x - 9/7 x2 + 2 x3 |
| | Courbes |  |
| Bibliographie
M. Sibony, J.C. Mardon - Analyse numérique 2 : Approximations et équations différentielles - 1984 |
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